Matrice d'une application linéaire
On pose \(E\) est un espace vectoriel muni d'une base \(\mathcal{B}_E=(e_1,....,e_n)\), \(F\) est un espace vectoriel muni d'une base \(\mathcal{B}_F=(f_1,....,f_m)\) et \(f\) désigne une application linéaire de \(E\) dans \(F\)
\(\triangleright\) Définition de matrice d'une application linéaire
On pose \(E\) est un espace vectoriel muni d'une base \(\mathcal{B}_E=(e_1,....,e_n)\), \(F\) est un espace vectoriel muni d'une base \(\mathcal{B}_F=(f_1,....,f_m)\) et \(f\) désigne une application linéaire de \(E\) dans \(F\)
On appelle matrice de \(f\) dans les base \(\mathcal{B}_E\) et \(\mathcal{B}_F\), avec \(f(e_1)=a_{1i}f_1+a_{2i}f_2+...\), la matrice suivante:$$M=\begin{pmatrix}a_{11}\quad a_{12}\quad ... \quad a_{1n}\\ a_{21}\quad a_{22}\quad ... \quad a_{2n}\\ ...\quad ...\quad...\quad...\\ a_{n1}\quad a_{n2}\quad ... \quad a_{mn}\end{pmatrix}$$
Elle est de dimension \(m\times n\). Lorsque \(E=F\) et \(\mathcal{B}_F=\mathcal{B}_E\), on parle de matrice de \(f\) dans la base \(\mathcal{B}_E\)
\(\triangleright\) Remarque
$$M=\begin{pmatrix}a_{11}\quad a_{12}\quad ... \quad a_{1n}\\ a_{21}\quad a_{22}\quad ... \quad a_{2n}\\ ...\quad ...\quad...\quad...\\ a_{n1}\quad a_{n2}\quad ... \quad a_{mn}\end{pmatrix}$$
Pour la matrice d'un application linéaire, les colonnes correspondent aux coordonnées des images \(f(e_n)\) dans la base \(\mathcal B_F\)
Le nombre de colonnes vaut la dimension de l'espace de départ et le nombre de lignes vaut la dimension de l'espace d'arrivé
\(\triangleright\) Exemples:
- \(f:\Bbb R^3\longrightarrow \Bbb R^3,\quad (x,y,z)\mapsto(x+2y+3z,2x+4y+z,3x+6y+4z)\).
Pour la base canonique de \(\Bbb R^3\), la matrice \(f\) vaut \(\begin{pmatrix}1\quad 2\quad 3\\ 2\quad 4\quad 1\\ 3\quad 6\quad 4\end{pmatrix}\)
Car $$f(e_1)=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\end{pmatrix}\qquad f(e_2)=\begin{pmatrix}2\\ 4\\ 6\end{pmatrix}\qquad f(e_3)=\begin{pmatrix}3\\ 1\\ 4\end{pmatrix}$$
- \(f:\Bbb R[X]\rightarrow \Bbb R^2[X],\quad P\mapsto P'+P(0)\).
Pour les bases canoniques \((1,X,X^2)\) et \((1,X,X^2,X^3)\), la matrice de \(f\) vaut \(\begin{pmatrix}1\quad 1\quad 0\quad 0\\ 0\quad0\quad2\quad 0\\ 0\quad 0\quad0\quad 3\end{pmatrix}\)
Car \(f(1)=1\qquad f(X)=1\qquad f(x^2)=2X\qquad f(X^3)=3X^2\)
Opérations sur les applications linéaires et les matrices associées
\(\triangleright\) Proposition
Soient \(f,g\in \mathcal{L}(E;F)\) et \(M,N\) leur matrices respectives dans les bases \(\mathcal B_F, \mathcal B_E\).
Pour tout \((\lambda,\mu)\in \Bbb R^2\), la matrice de \(\lambda f+\mu g\in\mathcal L(E;F)\) dans les bases précédentes vaut \(\lambda M+\mu N\)
\(\triangleright\) Proposition
Soit \(f\in\mathcal L(E;F)\) et sa matrice \(M\) dans la base \(\mathcal B_E\) et \(\mathcal B_F\).
Si \(N\) est la matrice d'une application linéaire \(g:F\rightarrow G\) dans les bases correspondantes, alors MN sera la matrice de \(g\circ f:E\rightarrow G\) dans les bases réspectives.
\(\longrightarrow\)Démonstration: Pasted image 20220308091724.png
\(\triangleright\) Théorème
Soit \(E,F\) des espaces vectoriels de dimension \(n\), \(f\in\mathcal L(E;F)\) et soit \(M\in \mathcal{Mat}_{m\times n}(\Bbb R)\) la matrice de \(f\) dans les bases de \(E\) et \(F\). Les conditions suivantes sont équivalentes:- \(f\) est bijective \(\implies\) \(f\) réalise un isomorphisme de \(E\) vers \(F\)
- \(M\) est inversible
\(\longrightarrow\) Démonstration: Pasted image 20220308092413.png
Caclul de l'inverse d'une matrice inversible
\(\triangleright\) Théorème
Si \(f\) est bijective, alors la matrice de sa fonction \(f^{-1}\) vaut l'inverse de \(M\)
\(\triangleright\) Opération d'inversion d'une matrice
Si \(M\) est une matrice carrée inversible de dimension \(n\), \(M^{-1}\) s'obtient en résolvant \(n\) systèmes linéaires de la forme \(MX=B\), où l'inconnue \(X\) appartient à \(\Bbb R^n\) et où le second membre \(B\) parcourt la base canonique de \(\Bbb R^n\)